北師大初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全(初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)北師大版)

第一章 勾股定理

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即+b=c

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有這種關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股數(shù)

滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

常見的勾股數(shù)組有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（這些勾股數(shù)組的倍數(shù)仍是勾股數(shù)）

第二章 實(shí)數(shù)

1、實(shí)數(shù)的概念及分類

①實(shí)數(shù)的分類

②無理數(shù)

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有四類：

• 開方開不盡的數(shù)，如 √7 , √2等；
• 有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如π /?+8等；
• 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;
• 某些三角函數(shù)值，如sin60°等

2、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值

①相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

②絕對(duì)值

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。|a|≥0。0的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

③倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。0沒有倒數(shù)。

④數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

⑤估算

3、平方根、算數(shù)平方根和立方根

①算術(shù)平方根

一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，0的算術(shù)平方根是0。

②平方根

• 一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。
• 性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。
• 開平方求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。注意 √a的雙重非負(fù)性：√a≥0 ; a≥0

③立方根

• 一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
• 表示方法：記作 √a
• 性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。
• 注意：- √a=√-a，這說明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

4、實(shí)數(shù)大小的比較

①實(shí)數(shù)比較大小

正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；

兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

②實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

• 數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
• 求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)
• a-b＞0?a＞b；
• a-b=0?a=b；
• a-b＜0?a＜b 。
• 求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，
• 絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則∣a∣＞∣b∣?a＜b。
• 平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則 a＞b?a＜b 。

5、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）

①含有二次根號(hào)“ √ ”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

②性質(zhì)：

③運(yùn)算結(jié)果若含有“ √ ”形式，必須滿足：

• 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式
• 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

①六種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方 、開方。

②實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

③運(yùn)算律

加法交換律 a+b= b+a

加法結(jié)合律 （a+b）+c= a+( b+c )

乘法交換律 ab= ba

乘法結(jié)合律 （ab）c = a( bc )

乘法對(duì)加法的分配律 a( b+c )=ab+ac

第三章 位置與坐標(biāo)

1、確定位置

在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。

2、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

①平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

②坐標(biāo)軸和象限

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），不屬于任何一個(gè)象限。

③點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

• 對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。
• 點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，（a，b）和（b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。
• 平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。

④不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

a、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

• 點(diǎn)P(x,y)在第一象限→ x＞0,y＞0
• 點(diǎn)P(x,y)在第二象限 → x＜0,y＞0
• 點(diǎn)P(x,y)在第三象限 → x＜0,y＜0
• 點(diǎn)P(x,y)在第四象限 → x＞0,y＜0

b、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

• 點(diǎn)P(x,y)在x軸上 → y=0，x為任意實(shí)數(shù)
• 點(diǎn)P(x,y)在y軸上 → x=0，y為任意實(shí)數(shù)
• 點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上→ x，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）即原點(diǎn)

c、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

• 點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上 → x與y相等
• 點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 → x與y互為相反數(shù)

d、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

• 位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。
• 位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

e、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

• 點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于x軸對(duì)稱 橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’（x，-y）
• 點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于y軸對(duì)稱 縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’（-x，y）
• 點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P’（-x，-y）

f、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

• 點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于 ∣y∣
• 點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于 ∣x∣
• 點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于 √x+y

3、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律

第四章 一次函數(shù)

1、函數(shù)

一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

2、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實(shí)數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實(shí)際意義幾方面考慮。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

• 關(guān)系式（解析）法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。

• 列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

• 圖象法

用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。

4、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟

• 列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值。
• 描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)。
• 連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。

5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

①正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

• 一般地，若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系可以表示成y=kx+b （k，b為常數(shù)，k不等于 0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。
• 特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)（k為常數(shù)，k 不等于0），稱y是x的正比例函數(shù)。

②一次函數(shù)的圖像:

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線。

③一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征

• 一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0，b）的直線；
• 正比例函數(shù)y=kx的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）的直線。

④正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù) 有下列性質(zhì)：

• 當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
• 當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

⑤一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù) 有下列性質(zhì)：

• 當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；
• 當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。

⑥正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

• 確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=kx（k 不等于0）中的常數(shù)k。
• 確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k 不等于0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

⑦一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

• 任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）．當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．
• 結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．
• 從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．

第五章 二元一次方程組

1、二元一次方程

①二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。

②二元一次方程的解

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

2、二元一次方程組

①含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

②二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。

③二元一次方程組的解法

• 代入（消元）法
• 加減（消元）法

④一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系：

• 一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：

直線y=kx+b上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是它所對(duì)應(yīng)的二元一次方程kx- y+b=0的解

• 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：

二元一次方程組

的解可看作兩個(gè)一次函數(shù)

和

的圖象的交點(diǎn)。

當(dāng)函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí)，說明相應(yīng)的二元一次方程組有解；

當(dāng)函數(shù)圖象（直線）平行即無交點(diǎn)時(shí)，說明相應(yīng)的二元一次方程組無解。

第六章 數(shù)據(jù)的分析

1、刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（平均水平）的量：平均數(shù) 、眾數(shù)、中位數(shù)

2、平均數(shù)

• 平均數(shù)：一般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)，我們把它們的和與n之商叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平均數(shù)。
• 加權(quán)平均數(shù)。

3、眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

4、中位數(shù)

一般地，將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

第七章 平行線的證明

1、平行線的性質(zhì)

一般地,如果兩條線互相平行的直線被第三條直線所截,那么同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ).

也可以簡(jiǎn)單的說成：

• 兩直線平行,同位角相等；
• 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；
• 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

2、判定平行線

兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行.

也可以簡(jiǎn)單說成：

• 同位角相等兩直線平行
• 兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行.

其他兩條可以簡(jiǎn)單說成：

• 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行
• 同旁內(nèi)角相等兩直線平行